Persamaan Kuadrat : Pengertian, Rumus, Akar-akar, dan Contoh Soal

PaperEdukasi – Rumus, Persamaan kuadrat adalah salah satu persamaan yang paling sering digunakan dalam ilmu matematika. Persamaan kuadrat merupakan persamaan polinomial atau suku banyak yang memiliki orde atau pangkat yang tidak lebih dari dua.

Dalam kehidupan sehari-hari persamaan kuadrat juga banyak digunakan dalam berbagai aspek kehidupan terutama yang membentuk kurva, parabola, atau lengkungan. Contohnya dapat ditemukan pada bentuk pelangi atau seperti sebuah bola basket yang dilemparkan, dan masih banyak lagi contoh lainnya.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah

 

dengan a,b, dan c adalah bilangan real serta $a\ne 0$

Keterangan :

a ≠ 0

a, b, dan c = bilangan real

a, b, dan c = konstanta

x = variabel

• a adalah koefisien variabel berpangkat 2
• b adalah koefisien variabel berpangkat 1
• c adalah koefisien variabel berpangkat 0 (sering di sebut dengan konstanta)

Contoh :

Dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, ada tiga cara yang bisa kita gunakan. Istilah tersebut sering disebut juga dengan  “mencari himpunan penyelesaian persamaan kuadrat” atau “mencari akar-akar persamaan kuadrat”. berikut caranya.

1. Pemfaktoran

Banyaknya akar-akar persamaan kuadrat adalah satu atau dua. Pada cara pertama ini kita akan coba membahas bagaimana cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktorkan.

Sebelumnya kita mungkin sudah pernah mendengar kata faktor, misalnya “Faktor dari 20 adalah?”. Jawaban dari pertanyaan ini adalah 1, 2, 4, 5, 10, 20. Angka-angka ini tidak muncul begitu saja, angka-angka ini mempunyai hubungan dengan 20 yaitu 1×20=20, 2×10=20, dan 4×5=20. Itulah kenapa dikatakan 1, 2, 4, 5, 10, 20 merupakan faktor dari 20.

Untuk faktor persamaan kuadrat kurang lebih sama, sederhananya kita coba menjabarkan persamaan kuadrat dalam bentuk perkalian. Atau coba kita perhatikan perkalian aljabar dua suku berikut:

Dari bentuk di atas kita peroleh :

 artinya (x+4) dan (x+5) adalah akar-akar dari .

Jika   kita tuliskan dalam bentuk umum persamaan kuadrat, maka akan kita peroleh:

Kita ketahui bahwa jika $a\times b=$, maka $a=0$ atau $b=0$. Pernyataan ini kita terapkan ke persamaan sehingga kita peroleh x+4 = 0 atau x = -4 dan x+5=0 atau x=-4. Nilai $x=-$ atau $x=-2$ disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat= 0

2. Kuadrat Sempurna

Persamaan kuadrat tidak selalu dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran. Terdapat cara selain pemfaktoran untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan cara melengkapi kuadrat sempurna. Dari cara melengkapi kuadrat sempurna, dihasilkan bilangan rasional dengan rumus sebagai berikut.

Agar lebih paham, perhatikan contoh berikut ini, yuk.

Contoh soal :

Dari persamaan kuadrat himpunan penyelesaiannya menggunakan kuadrat sempurna adalah

Jawab :

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di atas adalah {4, 2}.

3. Menggunakan Rumus ABC

Rumus ABC biasanya digunakan ketika kita menemukan persamaan kuadrat yang cukup sulit angkanya. Rumus ABC ditemukan oleh ilmuwan matematika yang dikenal sebagai bapak Al-Jabar, yaitu Al-Khawarizmi. Rumus ini sudah digunakan selama berabad-abad dalam penyelesaian persamaan kuadrat.

atau

Beberapa buku mengembangkannya menjadi rumus abc bentuk yang kedua yaitu

Contoh soal :

Selesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus ABC!

Jawab :

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di atas adalah {4, 2}.

Hasil Jumlah, Selisih dan Perkalian Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jika kita misalkan penyelesaian persamaan kuadrat atau akar-akar persamaan kuadrat adalah $x_1$ dan $x_2$ maka berlaku;

Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Diskriminan persamaan kuadrat disimbolkan dengan $D$, dimana $D=b^2-4ac$. Ditinjau dari nilai diskriminan persamaan kuadrat, akar-akar persamaan kuadrat dapat dikategorikan menjadi beberapa bagian, antara lain;

• Jika $D\ge 0$maka persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real (persamaan kuadrat mempunyai penyelesaian di himpunan bilangan real)
• Jika $D>0$maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berbeda (persamaan kuadrat mempunyai dua penyelesaian di himpunan bilangan real)
• Jika $D=0$maka persamaan kuadrat mempunyai satu akar real (persamaan kuadrat mempunyai satu penyelesaian di himpunan bilangan real)
• Jika $D<0$maka persamaan kuadrat mempunyai akar-akar imajiner (Tidak ada penyelesaian di himpunan bilangan real)