Persamaan Kuadrat : Pengertian, Rumus, Akar-akar, dan Contoh Soal

By Paper Edukasi

Updated on:

Rumus Persamaan kuadrat
---Advertisement---

PaperEdukasi – Rumus, Persamaan kuadrat adalah salah satu persamaan yang paling sering digunakan dalam ilmu matematika. Persamaan kuadrat merupakan persamaan polinomial atau suku banyak yang memiliki orde atau pangkat yang tidak lebih dari dua.

Dalam kehidupan sehari-hari persamaan kuadrat juga banyak digunakan dalam berbagai aspek kehidupan terutama yang membentuk kurva, parabola, atau lengkungan. Contohnya dapat ditemukan pada bentuk pelangi atau seperti sebuah bola basket yang dilemparkan, dan masih banyak lagi contoh lainnya.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah \(ax^2+bx+c=0\) dengan a,b, dan c adalah bilangan real serta \(a\neq0\).

Keterangan :

\(a\neq0\)

a, b, dan c = bilangan real

a, b, dan c = konstanta

x = variabel

  • a adalah koefisien variabel berpangkat 2
  • b adalah koefisien variabel berpangkat 1
  • c adalah koefisien variabel berpangkat 0 (sering di sebut dengan konstanta)

Contoh :

  • \( x^2+7x+12=0\) (a = 1, b = 7, dan c = 12)
  • \(x^2-10x+12=0\) (a = 1, b = -10, dan c = 12)
  • \(3x^2+4x-7=0\)   (a = 3, b = 4. dan c = -7)
  • \(-2x^2+3x+8=0\) (a =-2, b = 3. dan c = 8)

Dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, ada tiga cara yang bisa kita gunakan. Istilah tersebut sering disebut juga dengan  “mencari himpunan penyelesaian persamaan kuadrat” atau “mencari akar-akar persamaan kuadrat”. berikut caranya.

1. Pemfaktoran

Banyaknya akar-akar persamaan kuadrat adalah satu atau dua. Pada cara pertama ini kita akan coba membahas bagaimana cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktorkan.

Sebelumnya kita mungkin sudah pernah mendengar kata faktor, misalnya “Faktor dari 20 adalah?”. Jawaban dari pertanyaan ini adalah 1, 2, 4, 5, 10, 20. Angka-angka ini tidak muncul begitu saja, angka-angka ini mempunyai hubungan dengan 20 yaitu \(1 \times 20 = 20\), \(2 \times 10 = 20\), dan \(4 \times 5 = 20\). Itulah kenapa dikatakan 1, 2, 4, 5, 10, 20 merupakan faktor dari 20.

Untuk faktor persamaan kuadrat kurang lebih sama, sederhananya kita coba menjabarkan persamaan kuadrat dalam bentuk perkalian. Atau coba kita perhatikan perkalian aljabar dua suku berikut:

\(x^2 + 9x + 20= x^2 + 4x + 5x + 20\) 
\( = (x)(x) + (x)(4) + (5)(x) + (4)(5)\) 
\( = (x)(x + 4) + (5)(x + 4)\) 
\( = (x + 4)(x + 5)\) 

Dari bentuk di atas kita peroleh :

\( x^2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)\) artinya \((x+4)\) dan \((x+5)\) adalah faktor dari \( x^2 + 9x + 20\). Jika \( x^2 + 9x + 20\) kita tuliskan dalam bentuk umum persamaan kuadrat, maka akan kita peroleh:

\(x^2 + 9x + 20 = 0\) 
\( = (x + 4)(x + 5)\)

Kita ketahui bahwa jika \(a \times b = 0\), maka \(a = 0\) atau \(b = 0\). Pernyataan ini kita terapkan ke persamaan \((x + 4)(x + 5) = 0\), sehingga kita peroleh \(x+4 = 0\) atau \(x = -4\), dan \(x+5=0\) atau \(x =-5\). Nilai \( x = -4 \) atau \( x = -5 \) disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 + 9x + 20 = 0\).

2. Kuadrat Sempurna

Persamaan kuadrat tidak selalu dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran. Terdapat cara selain pemfaktoran untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan cara melengkapi kuadrat sempurna. Dari cara melengkapi kuadrat sempurna, dihasilkan bilangan rasional dengan rumus sebagai berikut.

\((x+p)^2 = q\) atau \( \left(x+\frac{1}{2}b\right)^2=\left(\frac{1}{2}b\right)^2-c \)

Agar lebih paham, perhatikan contoh berikut ini, yuk.

Contoh soal :

Dari persamaan kuadrat \( x^2 -6x + 8 = 0\) himpunan penyelesaiannya menggunakan kuadrat sempurna adalah.

Jawab :

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat \(x^2 – 6x + 8 = 0\) dengan menggunakan rumus \((x+p)^2 = q\) atau \(\left(x+\frac{1}{2}b\right)^2=\left(\frac{1}{2}b\right)^2-c\), kita mulai dengan melengkapi kuadrat sehingga menjadi sebuah bentuk lengkap. Dengan menambahkan dan mengurangkan kuadrat dari setengah koefisien \(x\), yaitu \(\left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9\), persamaan menjadi:

\(x^2 – 6x + 9 – 9 + 8 = 0\)

\((x^2 – 6x + 9) – 9 + 8 = 0\)

\((x – 3)^2 – 1 = 0\)

\((x – 3)^2 = 1\)

Dengan demikian, kita mendapatkan bentuk \((x+p)^2 = q\) dengan \(p = -3\) dan \(q = 1\). Solusi untuk persamaan kuadrat adalah \(x = 3 \pm \sqrt{1}\), yang artinya \(x = 3 \pm 1\), atau \(x = 2\) atau \(x = 4\).

Sekarang, mari kita periksa solusi tersebut dengan menggunakan rumus kedua. Dalam bentuk \(\left(x+\frac{1}{2}b\right)^2=\left(\frac{1}{2}b\right)^2-c\), kita memiliki \(b = -6\) dan \(c = 8\). Sehingga:

\(\left(x – 3\right)^2 = \left(\frac{-6}{2}\right)^2 – 8\)

\(\left(x – 3\right)^2 = (-3)^2 – 8\)

\(\left(x – 3\right)^2 = 9 – 8\)

\(\left(x – 3\right)^2 = 1\)

Hasilnya sama seperti sebelumnya, yaitu \((x – 3)^2 = 1\), yang memberikan solusi \(x = 2\) atau \(x = 4\).

Jadi, solusi untuk persamaan kuadrat \(x^2 – 6x + 8 = 0\) adalah \(x = 2\) atau \(x = 4\).

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di atas adalah {4, 2}.

3. Menggunakan Rumus ABC

Rumus ABC biasanya digunakan ketika kita menemukan persamaan kuadrat yang cukup sulit angkanya. Rumus ABC ditemukan oleh ilmuwan matematika yang dikenal sebagai bapak Al-Jabar, yaitu Al-Khawarizmi. Rumus ini sudah digunakan selama berabad-abad dalam penyelesaian persamaan kuadrat.

\( x_1,x_2 = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \) atau \( x_1,x_2 = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)

Beberapa buku mengembangkannya menjadi rumus abc bentuk yang kedua yaitu \( x_1,x_2 = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)

Pembuktian Rumus ABC

Untuk membuktikan atau menjelaskan bagaimana rumus \(x_1,x_2 = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) diperoleh dari persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\), kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

\( ax^2 + bx + c = 0 \)

Pertama, kita bagi kedua ruas persamaan dengan \( a \) untuk mendapatkan bentuk \( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \).

\( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \)

Kemudian, kita tambahkan kedua ruas dengan \( \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \) untuk melengkapi kuadrat dari bentuk \( x^2 + \frac{b}{a}x \).

\( x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \)

\( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = \frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \)

Kita sederhanakan ekspresi tersebut:

\( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} – \frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \)

\( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} – \frac{4ac}{4a^2} \)

\( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 – 4ac}{4a^2} \)

Kemudian, kita ambil akar-akar kuadrat dari kedua sisi persamaan:

\( x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 – 4ac}{4a^2}} \)

\( x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)

\( x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)

Jadi, rumus akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\) adalah \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\) dan \(x_2 = \frac{-b – \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\), yang merupakan rumus abc.

Contoh soal :

Selesaikan persamaan kuadrat \(x^2 – 6x + 8 = 0\) dengan menggunakan rumus ABC!

Jawab :

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat \(x^2 – 6x + 8 = 0\) menggunakan rumus ABC, kita perlu mengidentifikasi koefisien-koefisien dari persamaan tersebut.

Dari persamaan \(ax^2 + bx + c = 0\), kita memiliki:
– \(a = 1\)
– \(b = -6\)
– \(c = 8\)

Sekarang, kita dapat menggunakan rumus ABC:
\(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}\)

Dengan mengganti nilai-nilai koefisien ke dalam rumus tersebut, kita mendapatkan:
\(x = \frac{{-(-6) \pm \sqrt{{(-6)^2 – 4(1)(8)}}}}{{2(1)}}\)
\(x = \frac{{6 \pm \sqrt{{36 – 32}}}}{2}\)
\(x = \frac{{6 \pm \sqrt{4}}}{2}\)
\(x = \frac{{6 \pm 2}}{2}\)

Ini menghasilkan dua solusi:
\(x_1 = \frac{{6 + 2}}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
\(x_2 = \frac{{6 – 2}}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

Jadi, solusi dari persamaan kuadrat \(x^2 – 6x + 8 = 0\) dengan menggunakan rumus ABC adalah \(x = 4\) dan \(x = 2\).

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di atas adalah {4, 2}.

Hasil Jumlah, Selisih dan Perkalian Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jika kita misalkan penyelesaian persamaan kuadrat atau akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2+bx+c=0\) adalah dan maka berlaku;

  • \(ax_1^2 + bx_1 + c = 0\)
  • \(ax_2^2 + bx_2 + c = 0\)
  • \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
  • \(x_1 . x_2 = \frac{c}{a}\)
  • \(|x_1 – x_2| = \sqrt{D}\)

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika kita diminta untuk menyusun atau membentuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(x_1\) dan \(x_2\), maka persamaan kuadrat dapat kita susun dengan dua cara:

\[ (x – x_1)(x – x_2) = 0 \]

\[ x^2 – (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0 \]

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, sudah banyak yang menerapkan cara-cara nakal atau cara kreatif dalam menyusun persamaan kuadrat baru tanpa melalui proses yang disebutkan di atas.

Misalnya: Jika akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2+bx+c=0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\), maka;

persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \( (x_1+p) \) dan \( (x_2+q) \) adalah \( a(x-p)^2 + b(x-p) + c = 0 \)
persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \( (x_1-p) \) dan \( (x_2-q) \) adalah \( a(x+p)^2 + b(x+p) + c = 0 \)
persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \( (x_1 \cdot p) \) dan \( (x_2 \cdot q) \) adalah \( a(px)^2 + b(px) + c = 0 \)
persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \( (1 \cdot x_1) \) dan \( (1 \cdot x_2) \) adalah \( cx^2 + bx + a = 0 \)

Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Diskriminan persamaan kuadrat disimbolkan dengan , dimana . Ditinjau dari nilai diskriminan persamaan kuadrat, akar-akar persamaan kuadrat dapat dikategorikan menjadi beberapa bagian, antara lain;

  • Jika maka persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real (persamaan kuadrat mempunyai penyelesaian di himpunan bilangan real)
  • Jika maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berbeda (persamaan kuadrat mempunyai dua penyelesaian di himpunan bilangan real)
  • Jika maka persamaan kuadrat mempunyai satu akar real (persamaan kuadrat mempunyai satu penyelesaian di himpunan bilangan real)
  • Jika maka persamaan kuadrat mempunyai akar-akar imajiner (Tidak ada penyelesaian di himpunan bilangan real)

Leave a Comment