Soal dan Pembahasan Matematika Persamaan Kuadrat Ujian Mandiri UI & UGM

By Paper Edukasi

Updated on:

Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat
---Advertisement---

Persamaan kuadrat menjadi salah satu poin krusial dalam ujian mandiri untuk masuk ke Universitas Indonesia (UI) dan Universitas Gadjah Mada (UGM). Keterampilan dalam menyelesaikan persoalan-persoalan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat menjadi indikator penting bagi kemampuan calon mahasiswa dalam memahami konsep matematika yang lebih kompleks. Oleh karena itu, dalam artikel ini, kami akan mengulas beragam soal dan pembahasan matematika terkait persamaan kuadrat yang seringkali muncul dalam ujian mandiri kedua universitas tersebut.

Memahami persamaan kuadrat secara mendalam bukan hanya sekadar persiapan untuk ujian, melainkan juga investasi dalam pembentukan landasan yang kokoh bagi pemahaman matematika yang lebih luas. Dengan memahami konsep ini, calon mahasiswa akan memiliki keunggulan tersendiri dalam menghadapi materi-materi matematika yang lebih kompleks di masa mendatang. Artikel ini bertujuan untuk memberikan panduan yang komprehensif bagi para calon mahasiswa yang ingin mempersiapkan diri dengan baik untuk ujian mandiri UI dan UGM, sehingga mereka dapat mengatasi berbagai tantangan matematika dengan lebih percaya diri.

Diharapkan, melalui pembahasan soal-soal persamaan kuadrat yang kami sajikan, calon mahasiswa dapat mengasah kemampuan analitis dan pemecahan masalah mereka. Semakin baik pemahaman mereka terhadap konsep persamaan kuadrat, semakin siap mereka menghadapi ujian mandiri serta tantangan akademik lainnya. Artikel ini tidak hanya menjadi sumber belajar yang berharga, tetapi juga menjadi pedoman bagi para calon mahasiswa untuk meningkatkan efektivitas persiapan mereka dalam menghadapi ujian mandiri UI dan UGM, dua universitas ternama di Indonesia.

1. Soal UM UGM 2019 Kode 934

\(x^2 – (3a – 5)x + 3 = 0\) memiliki salah satu akarnya tiga kali akar yang lain. Perkalian dari nilai-nilai \(a\) yang memenuhi persamaan tersebut adalah…

\((A). \ 2\)
\((B). \ 1\)
\((C). \ 0\)
\((D). \ -1\)
\((E). \ -2\)

Pembahasan

Jika akar-akar \(x^2-(3a-5)x+3=0\) kita misalkan \(m\) dan \(n\) dimana \(m=3n\) maka dapat kita tuliskan:

Hasil kali akar-akar, \[ \begin{aligned} m \cdot n & =\frac{c}{a} \\ m \cdot 3 m & =\frac{3}{1} \\ 3 m^2 & =3 \\ m & = \pm 1 \end{aligned} \] Hasil jumlah akar-akar, \[ \begin{gathered} m+n=-\frac{b}{a} \\ 4 m=-\frac{-(3a-5)}{1} \\ 4 m=3a-5 \\ \hline m=-1 \rightarrow-4=3a-5 \\ 1=3a \\ \frac{1}{3}=a \\ m=1 \rightarrow 4=3a-5 \\ 9=3a \\ 3=a \end{gathered} \] Hasil kali nilai \(a\) yang memenuhi adalah \(\frac{1}{3} \cdot 3=1\)

Jawaban: B

[collapse]

2. Soal SIMAK UI 2018 Kode 631

Misalkan \(p\) dan \(q\) adalah bilangan-bilangan riil tidak nol dalam persamaan kuadrat \(x^2+px+q=0\) mempunyai solusi \(p\) dan \(q\), maka \(p^2-2q=\cdots\)

\((A). \ 2\)
\((B). \ 3\)
\((C). \ 4\)
\((D). \ 5\)
\((E). \ 8\)

Pembahasan

Persamaan kuadrat \(x^2+px+q=0\) mempunyai solusi \(p\) dan \(q\), maka akar-akar persamaan kuadrat adalah \(p\) dan \(q\), maka dapat kita tuliskan:

Hasil kali akar-akar, \[ \begin{aligned} p \cdot q & =\frac{c}{a} \\ p \cdot q & =\frac{q}{1} \\ p q & =q \\ p & =1 \end{aligned} \] Hasil jumlah akar-akar, \[ \begin{aligned} p+q & =-\frac{b}{a} \\ p+q & =-\frac{p}{1} \\ p+q & =-p \\ 2 p & =-q \\ 2(1) & =-q \\ -2 & =q \\ \hline p^2-2 q & =1^2-2(-2) \\ & =1+4=5 \end{aligned} \]

Jawaban: D

[collapse]

3. Soal UM UGM 2017 Kode 723

Selisih akar-akar persamaan \(x^2+2ax+\frac{4}{3}a=0\) adalah 1. Selisih \(a\) dan \(\frac{4}{6}\) adalah \(\cdots\)

\((A). \frac{1}{2}\)
\((B). \frac{2}{3}\)
\((C). \frac{5}{6}\)
\((D). 1\)
\((E). \frac{5}{3}\)

Pembahasan

Akar-akar PK \(x^2+2ax+\frac{4}{3}a=0\) kita misalkan dengan \(m\) dan \(n\). \[ \begin{aligned} &|m-n|=\left|\frac{\sqrt{D}}{a}\right| \\ & 1=\frac{\sqrt{b^2-4 a c}}{a} \\ & 1=\frac{\sqrt{(2a)^2-4(1)\left(\frac{4}{3}a\right)}}{1} \\ & 1=\sqrt{4a^2-\frac{16a}{3}} \quad \text{[dikuadratkan]} \\ & 1=4a^2-\frac{16a}{3} \quad \text{[dikalikan dengan } 3] \\ & 3=12a^2-16a \\ & 0=12a^2-16a-3 \\ & 0=\frac{1}{12}(12a-18)(12a+2) \\ & 12a-18=0 \\ & 12a=18 \\ & a=\frac{18}{12}=\frac{9}{6} \\ & 12a+2=0 \\ & 12a=-2 \\ & a=-\frac{2}{12}=-\frac{1}{6} \\ \end{aligned} \] Selisih \(a\) dan \(\frac{4}{6}\) yang memenuhi adalah \(\frac{5}{6}\)

Jawaban: C

[collapse]

4. Soal SBMPTN 2016 Kode 255

Diketahui \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar dari persamaan \(x^2+5ax+a^3-4a+1=0\). Nilai \(a\) sehingga \(x_1+x_1x_2+x_2\) maksimum pada interval \([-3,3]\) adalah \(\cdots\)

\((A). -3\)
\((B). -\sqrt{3}\)
\((C). 0\)
\((D). \sqrt{3}\)
\((E). 3\)

Pembahasan

Jika kita misalkan \(N=x_1+x_1 x_2+x_2\) dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh; \[ \begin{aligned} N & =x_1+x_1 x_2+x_2 \\ & =x_1+x_2+x_1 x_2 \\ & =-\frac{b}{a}+\frac{c}{a} \\ & =-\frac{5a}{1}+\frac{a^3-4a+1}{1} \\ & =a^3-9a+1 \end{aligned} \] Sampai pada tahap ini konsep PK yang dipakai belum cukup, kita perlu aturan tambahan dari materi turunan. Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama \(N’=0\). \[ \begin{aligned} N & =a^3-9a+1 \\ N’ & =3a^2-9 \\ 3a^2-9 & =0 \\ a^2-3 & =0 \\ (a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3}) & =0 \end{aligned} \] Kita peroleh nilai \(a=-\sqrt{3}\) dan \(a=\sqrt{3}\)

Untuk \(a=-\sqrt{3}\) adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke \(N=a^3-9a+1\) lalu membandingkan hasilnya untuk \(a=\sqrt{3}\).

Nilai \(a\) sehingga \(x_1+x_1 x_2+x_2\) maksimum adalah \(-\sqrt{3}\)

Jawaban: B

[collapse]

5. Soal UM UGM 2018 Kode 286

Jika \(a>0\) dan selisih akar-akar persamaan kuadrat \(5x^2-10ax+8a=0\) sama dengan 3 maka \(a^2-a=\ldots\)

 \((A). 1 \frac{1}{9}\)
 \((B). 3 \frac{3}{4}\)
 \((C). 4 \frac{4}{9}\)
 \((D). 7 \frac{1}{2}\)
 \((E). 8 \frac{3}{4}\)

Pembahasan

Jika akar-akar \(5x^2-10ax+8a=0\) kita misalkan \(m\) dan \(n\) maka dapat kita tuliskan: Selisih akar-akar, \[ \begin{aligned} |m-n| & =\left|\frac{\sqrt{D}}{a}\right| \\ 3 & =\frac{\sqrt{b^2-4(a)(c)}}{5} \\ 15 & =\sqrt{(10a)^2-4(5)(8a)} \\ 225 & =100a^2-160a \\ 45 & =20a^2-32a \\ 0 & =20a^2-32a-45 \\ 0 & =(10a+9)(2a-5) \\ a & =-\frac{9}{10} \text{ atau } a=\frac{5}{2} \end{aligned} \] Karena \(a>0\) maka nilai \(a\) yang memenuhi adalah \(a=\frac{5}{2}\). Nilai \(a^2-a=\left(\frac{5}{2}\right)^2-\frac{5}{2}=\frac{15}{4}\)

Jawaban: B

[collapse]

6. Soal SIMAK UI 2013

Perkalian akar-akar real dari persamaan \(\frac{1}{x^2-10x-29}+\frac{1}{x^2-10x-45}-\frac{2}{x^2-10x-69}=0\) adalah…

\((A). -39 \)
\((B). -10 \)
\((C). 2 \)
\((D). 10 \)
\((E). 39 \)

Pembahasan

Pada soal yang ditanyakan adalah perkalian akar-akar real, sebenarnya sangat sederhana yang ditanyakan, tetapi bentuk persamaan belum seperti yang kita harapkan yaitu \(ax^2+bx+c=0\). Jadi tugas pertama kita adalah memanipulasi aljabar bentuk soal sampai kepada bentuk \(ax^2+bx+c=0\). \[ \frac{1}{x^2-10x-29}+\frac{1}{x^2-10x-45}-\frac{2}{x^2-10x-69}=0 \] Untuk mempermudah penulisan kita gunakan pemisalan, kita pilih \(x^2-10x-45=m\). \[ \begin{aligned} \frac{1}{m+16}+\frac{1}{m}-\frac{2}{m-24} & =0 \\ \frac{m+m+16}{m(m+16)}-\frac{2}{m-24} & =0 \\ \frac{2m+16}{m(m+16)}-\frac{2}{m-24} & =0 \\ \frac{(2m+16)(m-24)-2(m(m+16))}{m(m+16)(m-24)} & =0 \\ \frac{2m^2-48m+16m-384-2m^2-32m}{m(m+16)(m-24)} & =0 \\ \frac{-64m-384}{m(m+16)(m-24)} & =0 \\ -64m-384 & =0 \\ -64(m+6) & =0 \\ m+6 & =0 \end{aligned} \] Sampai pada tahap ini, nilai \(m=x^2-10x-45\) sebenarnya kita kembalikan, sehingga kita peroleh; \[ \begin{array}{r} m+6=0 \\ x^2-10x-45+6=0 \\ x^2-10x-39=0 \end{array} \] Perkalian akar-akar real dari persamaan adalah \(\frac{c}{a}=\frac{-39}{1}=-39\)

Jawaban: A

[collapse]

7. Soal SIMAK UI 2013

Jika \(r\) dan \(s\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2+bx+c=0\) dan \(D\) adalah diskriminan dari persamaan tersebut, nilai dari \(\frac{1}{r^2}+\frac{1}{s^2}\) adalah…

\((A). \frac{D}{c^2}+\frac{2a}{c}\)
\((B). \frac{D}{2a}+c\)
\((C). \frac{D}{c^2}\)
\((D). \frac{D}{2a}\)
\((E). D\)

Pembahasan

Pada soal disampaikan \(r\) dan \(s\) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \(ax^2+bx+c=0\) sehingga berlaku \[ \begin{aligned} r+s & =-\frac{b}{a} \text{ dan } rs=\frac{c}{a} \\ rs & =\frac{c}{a}=\frac{1}{r^2}+\frac{1}{s^2} \\ & =\frac{s^2+r^2}{r^2s^2}=\frac{(s+r)^2-2sr}{(rs)^2} \\ & =\frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{c}{a}\right)}{\left(\frac{c}{a}\right)^2}=\frac{\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}} \\ & =\frac{\frac{b^2}{a^2}-\frac{2ac}{a^2}}{\frac{c^2}{a^2}}=\frac{\frac{b^2-2ac}{a^2}}{\frac{c^2}{a^2}} \\ & =\frac{b^2-2ac}{c^2}=\frac{b^2-4ac+2ac}{c^2} \\ & =\frac{D+2ac}{c^2}=\frac{D}{c^2}+\frac{2a}{c} \end{aligned} \]

Jawaban: A

[collapse]

8. Soal SBMPTN 2018 Kode 526

Diketahui \(x_1\) dan \(x_2\) merupakan akar-akar \(x^2+2ax+b^2=0\). Jika \(x_1^2+x_2^2=10\), maka nilai \(b^2\) adalah…

\((A). 4a^2+10\)
\((B). 4a^2-10\)
\((C). 2a^2+5\)
\((D). 2a^2-5\)
\((E). -2a^2+5\)

Pembahasan

\begin{aligned} x_1^2+x_2^2 & =\left(x_1+x_2\right)^2-2 x_1 \cdot x_2 \\ 10 & =\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{c}{a}\right) \\ 10 & =\left(-\frac{2a}{1}\right)^2-2\left(\frac{b^2}{1}\right) \\ 10 & =4a^2-2b^2 \\ 2b^2 & =4a^2-10 \\ b^2 & =2a^2-5 \end{aligned}

Jawaban: D

[collapse]

9. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641

Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi \(\sqrt[3]{x}=\frac{2}{1+\sqrt[3]{x}}\) adalah…

\((A). -8 \)
\((B). -6 \)
\((C). 4 \)
\((D). 6 \)
\((E). 8 \)

Pembahasan

\begin{aligned} \sqrt[3]{x} & =\frac{2}{1+\sqrt[3]{x}} \\ \sqrt[3]{x}(1+\sqrt[3]{x}) & =2 \\ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2} & =2 \\ \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-2 & =0 \\ (\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt[3]{x}-1) & =0 \\ \sqrt[3]{x}=-2 & \text{ atau } \sqrt[3]{x}=1 \\ \sqrt[3]{x} & =-2 \\ \star x & =(-2)^3=-8 \\ \sqrt[3]{x} & =1 \\ \star x & =(1)^3=1 \end{aligned} Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi \((-8)(1)=-8\)

Jawaban: A

[collapse]

10. Soal UM UGM 2017 Kode 713

Misalkan \(x_1\) dan \(x_2\) merupakan akar-akar persamaan \(px^2+qx-1=0\), \(p \neq 0\). Jika \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1\) dan \(x_1=-\frac{3}{2}x_2\), maka \(p+q=\cdots\)

\((A). 7\)
\((B). 5\)
\((C). 0\)
\((D). -5\)
\((E). -7\)

Pembahasan

Jika akar-akar \(px^2+qx-1=0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\) dimana \(x_1=-\frac{3}{2} x_2\), maka dapat kita tuliskan: Hasil kali akar-akar, \[ \begin{aligned} x_1 \cdot x_2 & =\frac{c}{a}=-\frac{1}{p} \\ -\frac{3}{2} x_2 \cdot x_2 & =-\frac{1}{p} \\ x_2^2 & =\frac{2}{3 p} \end{aligned} \] Hasil jumlah akar-akar, \[ \begin{aligned} x_1+x_2 & =-\frac{b}{a}=-\frac{q}{p} \\ -\frac{3}{2} x_2+x_2 & =-\frac{q}{p} \\ -\frac{1}{2} x_2 & =-\frac{q}{p} \\ x_2 & =\frac{2q}{p} \end{aligned} \] Nilai \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1\), sehingga dapat kita tuliskan, \[ \begin{aligned} \frac{x_1+x_2}{x_1 \cdot x_2} & =-1 \\ \frac{-\frac{q}{p}}{-\frac{1}{p}} & =-1 \\ q & =-1 \end{aligned} \] Dari persamaan ketiga persamaan di atas dapat kita tuliskan, \[ \begin{aligned} x_2^2 & =\frac{2}{3 p} \\ \left(\frac{2q}{p}\right)^2 & =\frac{2}{3 p} \\ \left(\frac{2(1)}{p}\right)^2 & =\frac{2}{3 p} \\ \frac{4}{p^2} & =\frac{2}{3 p} \\ \frac{4}{p} & =\frac{2}{3} \\ p & =6 \end{aligned} \] Nilai \(p+q=6-1=5\)

Jawaban: B

[collapse]

11. Soal UM UGM 2017 Kode 823

Diketahui \(p\) dan \(q\) adalah akar-akar persamaan \(x^2+3x+k=0\), dengan \(p<q\). Jika \(\frac{q+1}{p+1}-\frac{p-1}{q-1}=-\frac{3}{2}\), maka jumlah semua nilai \(k\) yang mungkin adalah…

\((A). 4\)
\((B). 2\)
\((C). 1\)
\((D). -4\)
\((E). -2\)

Pembahasan

Jika akar-akar \(x^2+3x+k=0\) adalah \(p\) dan \(q\), maka dapat kita tuliskan: Hasil jumlah, kali, dan selisih akar-akar, \[ \begin{aligned} p+q & =-\frac{b}{a}=-3 \\ p \cdot q & =\frac{c}{a}=k \\ q-p & =\frac{\sqrt{b^2-4 a c}}{a} \\ & =\frac{\sqrt{3^2-4(1)(k)}}{1} \\ & =\sqrt{9-4 k} \end{aligned} \] Nilai \(\frac{q+1}{p+1}-\frac{p-1}{q-1}=-\frac{3}{2}\), sehingga dapat kita tuliskan, \[ \begin{aligned} \frac{q^2-1-p^2+1}{p q+q-p-1} & =-\frac{3}{2} \\ \frac{(-3)(\sqrt{9-4 k})}{k+\sqrt{9-4 k}-1} & =-\frac{3}{2} \\ (-6) \sqrt{9-4 k} & =-3 k+3-3 \sqrt{9-4 k} \\ 3 k-3 & =3 \sqrt{9-4 k} \\ 9 k^2-18 k+9 & =9(9-4 k) \\ 9 k^2-18 k+9 & =81-36 k \\ k^2-2 k+1 & =9-4 k \\ k^2+2 k-8 & =0 \end{aligned} \] Nilai \(k_1+k_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2\)

Jawaban: E

[collapse]

12. Soal SBMPTN 2014 Kode 651

Persamaan kuadrat \(2x^2 – px + 1 = 0\) dengan \(p > 0\) mempunyai akar-akar \(\alpha\) dan \(\beta\). Jika \(x^2 – 5x + q = 0\) mempunyai akar-akar \(\frac{1}{\alpha^2}\) dan \(\frac{1}{\beta^2}\), maka \(p – q = \ldots\)

\((A). -2\)
\((B). -\frac{1}{2}\)
\((C). \frac{1}{2}\)
\((D). 1\)
\((E). 2\)

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat \(2x^2-px+1=0\) kita peroleh: – \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{-p}{2}=\frac{1}{2}p\) – \(\alpha \cdot \beta=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\) – \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha \cdot \beta\) \[ \alpha^2+\beta^2=\left(\frac{1}{2}p\right)^2-2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}p^2-1 \] Dari persamaan kuadrat \(x^2-5x+q=0\) kita peroleh: \[ \begin{aligned} & \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5 \\ & \frac{\alpha^2+\beta^2}{(\alpha \beta)^2}=5 \\ & \frac{\frac{1}{4}p^2-1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=5 \\ & \frac{1}{4}p^2-1=\frac{5}{4} \\ & p^2-4=5 \\ & p^2-9=0 \\ & (p+3)(p-3)=0 \\ & p=-3 \text { atau } p=3 \\ & \frac{1}{\alpha^2} \cdot \frac{1}{\beta^2}=\frac{c}{a}=\frac{q}{1}=q \\ & \frac{1}{(\alpha \cdot \beta)^2}=q \\ & \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=q \\ & 4=q \end{aligned} \] Nilai \(q-p=4-3=1\)

Jawaban: D

[collapse]

13. Soal SBMPTN 2014 Kode 663

Jika \(a\) dan \(b\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(x^2+x-3=0\), maka \(2a^2+b^2+a\) adalah…

\((A). 10\)
\((B). 9\)
\((C). 7\)
\((D). 6\)
\((E). 4\)

Pembahasan

Persamaan kuadrat \(x^2+x-3=0\) akar-akarnya adalah \(a\) dan \(b\), sehingga dapat kita peroleh; – \(a+b=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1\) – \(a \cdot b=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3\) – \(a^2+a-3=0\) atau \(a^2=3-a\) – \(b^2+b-3=0\) atau \(b^2=3-b\) \[ \begin{aligned} 2 a^2+b^2+a & =2(3-a)+3-b+a \\ & =6-2 a+3-b+a \\ & =9-a-b \\ & =9-(a+b) \\ & =9-(-1)=10 \end{aligned} \]

Jawaban: A

[collapse]

14. Soal SBMPTN 2014 Kode 663

Diketahui \(m\) dan \(n\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2+bx+c=0\). Jika \(m+2\) dan \(n+2\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2+qx+r=0\), maka \(q+r=\cdots\)

\((A). c+3b\)
\((B). c-b+4a\)
\((C). c-b\)
\((D). c-b+8a\)
\((E). c+3b+8a\)

Pembahasan

Persamaan kuadrat \(ax^2+bx+c=0\) akar-akarnya adalah \(m\) dan \(n\), sehingga dapat kita peroleh: – \(m+n=-\frac{b}{a}\) – \(m \cdot n=\frac{c}{a}\) Persamaan kuadrat \(ax^2+qx+r=0\) akar-akarnya adalah \(m+2\) dan \(n+2\), sehingga dapat kita peroleh: \[ \begin{aligned} & m+2+n+2=-\frac{q}{a} \\ & m+n+4=-\frac{q}{a} \\ & -\frac{b}{a}+4=-\frac{q}{a} \\ & -b+4a=-q \\ & b-4a=q \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & -(m+2) \cdot(n+2)=\frac{r}{a} \\ & mn+2(m+n)+4=\frac{r}{a} \\ & \frac{c}{a}+2\left(-\frac{b}{a}\right)+4=\frac{r}{a} \\ & c-2b+4a=r \end{aligned} \] \[ \begin{array}{c|c} r=c-2b+4a \\ q=b-4a & (+) \\ \hline r+q=c-b \end{array} \]

[collapse]

15. Soal UM UGM 2019 Kode 634

Jika \(p\) dan \(q\) merupakan akar-akar persamaan kuadrat \(x^2-7x+1=0\), maka persamaan yang akar-akarnya \(\sqrt{p}+\sqrt{q}\) dan \(p^2+q^2\) adalah…

\((A). x^2-50x+131=0\)
\((B). x^2-50x+138=0\)
\((C). x^2-50x+141=0\)
\((D). x^2-51x+141=0\)
\((E). x^2-51x+148=0\)

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat \(x^2-7x+1=0\) yang akar-akarnya \(p\) dan \(q\) kita peroleh: \[ \begin{aligned} & \text { 1. } p+q=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7 \\ & \text { 2. } p q=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1 \\ & \text { 3. } p^2+q^2=(p+q)^2-2 p q=49-2=47 \\ & \text { 4. Nilai } \sqrt{p}+\sqrt{q}=\cdots \\ & \sqrt{p}+\sqrt{q}=k \\ &(\sqrt{p}+\sqrt{q})^2=k^2 \\ & p+q+2 \sqrt{p q}=k^2 \\ & 7+2 \sqrt{1}=k^2 \\ & 3=k \\ & \sqrt{p}+\sqrt{q}=3 \end{aligned} \] Untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(x_1=\sqrt{p}+\sqrt{q}\) dan \(x_2=p^2+q^2\) adalah: \[ \begin{aligned} x^2-\left(x_1+x_2\right) x+\left(x_1 \cdot x_2\right) & =0 \\ \hline x_1+x_2 & =\sqrt{p}+\sqrt{q}+p^2+q^2 \\ & =3+47=50 \\ x_1 \cdot x_2 & =(\sqrt{p}+\sqrt{q})\left(p^2+q^2\right) \\ & =(3)(47)=141 \\ \hline x^2-50 x+141 & =0 \end{aligned} \]

Jawaban: C

[collapse]

Leave a Comment