Trigonometri: Konsep Dasar, Contoh Soal, dan Pembahasan

By Paper Edukasi

Updated on:

Trigonometri
---Advertisement---

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan panjang sisi segitiga. Konsep ini memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, termasuk ilmu fisika, teknik, dan matematika itu sendiri. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi konsep-konsep dasar trigonometri serta beberapa rumus yang penting dalam pemecahan masalah trigonometri.

Pengenalan Trigonometri

Trigonometri berasal dari dua kata Yunani, yaitu “trigonon” yang berarti “tiga sudut” dan “metron” yang berarti “pengukuran”. Secara tradisional, trigonometri digunakan untuk mempelajari segitiga, khususnya segitiga siku-siku, di mana memiliki sudut-sudut yang berhubungan dengan panjang sisi-sisinya.

Ada beberapa fungsi trigonometri yang penting untuk dipahami:

1. Sinus (sin): Sinus dari suatu sudut dalam sebuah segitiga adalah rasio dari panjang sisi yang berlawanan dengan sudut tersebut dibagi dengan panjang sisi miring segitiga.

Rumus: Sinus \(\alpha=\frac{\text{sisi di depan sudut } \alpha}{\text{sisi miring}}=\frac{a}{c}\)

2. Cosinus (cos): Cosinus dari suatu sudut dalam sebuah segitiga adalah rasio dari panjang sisi yang berdekatan dengan sudut tersebut dibagi dengan panjang sisi miring segitiga.

Rumus:

3. Tangen (tan): Tangen dari suatu sudut dalam sebuah segitiga adalah rasio dari panjang sisi yang berlawanan dengan sudut tersebut dibagi dengan panjang sisi yang berdekatan dengan sudut tersebut.

Rumus: Tangen \(\alpha=\frac{\text{sisi di depan sudut } \alpha}{\text{sisi di samping sudut } \alpha}=\frac{a}{b}\)

4. Cosec (cosecan): Cosec dari suatu sudut dalam sebuah segitiga adalah rasio dari panjang sisi miring segitiga dibagi oleh panjang sisi yang berlawanan dengan sudut tersebut.

Rumus:

5. Sec (secant): Sec dari suatu sudut dalam sebuah segitiga adalah rasio dari panjang sisi miring segitiga dibagi oleh panjang sisi yang berdekatan dengan sudut tersebut.

Rumus: Secan \(\alpha=\frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi di samping sudut } \alpha}=\frac{c}{b}\)

6. Cot (cotangen): Cot dari suatu sudut dalam sebuah segitiga adalah rasio dari panjang sisi yang berdekatan dengan sudut tersebut dibagi oleh panjang sisi yang berlawanan dengan sudut tersebut.

Rumus:

Rumus Identitas Trigonometri

  • \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
  • \(\sec^2 \alpha + \tan^2 \alpha = 1\)
  • \(\csc^2 \alpha + \cot^2 \alpha = 1\)

Aturan Sinus

\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)

Aturan Cosinus

  • \(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A\)
  • \(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos B\)
  • \(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C\)

Contoh Soal dan Pembahasan Konsep Dasar Trigonometri

Soal Nomor 1

1. Pada sebuah segitiga \(ABC\) diketahui sudut \(A=30^{\circ}\), sudut \(B=45^{\circ}\) dan panjang sisi \(a=6 \mathrm{~cm}\). Tentukan panjang sisi \(b\).

Pembahasan

Dari informasi pada gambar dan dengan aturan sinus, berlaku: \[ \begin{aligned} \frac{a}{\sin A} & =\frac{b}{\sin B} \\ \frac{6}{\sin 30^\circ} & =\frac{b}{\sin 45^\circ} \\ \frac{6}{\frac{1}{2}} & =\frac{b}{\frac{1}{2} \sqrt{2}} \\ \frac{6}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} & =b \\ 6 \sqrt{2} & =b \end{aligned} \]

[collapse]

Soal Nomor 2

Panjang pada gambar segitiga di bawah ini adalah…

Pembahasan

Dari informasi pada gambar dan dengan aturan sinus, berlaku: \[ \begin{aligned} \frac{QR}{\sin QPR} &= \frac{PR}{\sin PQR} \\ \frac{8}{\sin 45^\circ} &= \frac{PR}{\sin 30^\circ} \\ \frac{8}{\frac{1}{2} \sqrt{2}} &= \frac{PR}{\frac{1}{2}} \\ \frac{8}{\frac{1}{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} &= PR \\ 4\sqrt{2} &= PR \end{aligned} \]

[collapse]

Soal Nomor 3

Sebuah segitiga \(ABC\) diketahui panjang sisi \(AB=12 \mathrm{~cm}\), \(\angle B=75^{\circ}\) dan \(\angle A=60^{\circ}\), maka panjang sisi \(BC=\cdots \mathrm{cm}\)

(A) \(4 \sqrt{6}\)
(B) \(6 \sqrt{6}\)
(C) \(6 \sqrt{2}\)
(D) \(8 \sqrt{2}\)
(E) \(8 \sqrt{3}\)

Pembahasan

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini: Dari segitiga \(ABC\) di atas, \(\angle C = 180^\circ – (60^\circ + 75^\circ) = 45^\circ\). Dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh: \[ \begin{aligned} \frac{BC}{\sin A} & = \frac{AB}{\sin C} \\ \frac{BC}{\sin 60^\circ} & = \frac{12}{\sin 45^\circ} \\ \frac{BC}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} & = \frac{12}{\frac{1}{2} \sqrt{2}} \\ BC & = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\ BC & = \frac{12 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ BC & = \frac{12 \sqrt{6}}{2} \\ BC & = 6 \sqrt{6} \end{aligned} \]

Jawaban: B

[collapse]

Soal Nomor 4

Sebuah segitiga \(PQR\) diketahui panjang sisi \(PQ=4\sqrt{3} \, \mathrm{cm}, PR=4 \, \mathrm{cm}\), dan \(\angle R=60^{\circ}\). Maka besar \(\angle Q=\cdots\).

(A) \(30^{\circ}\)
(B) \(60^{\circ}\)
(C) \(90^{\circ}\)
(D) \(120^{\circ}\)
(E) \(150^{\circ}\)

Pembahasan

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini: Dari segitiga \(PQR\) di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh: \[ \begin{aligned} \frac{q}{\sin Q} & =\frac{r}{\sin R} \\ \frac{4}{\sin Q} & =\frac{4\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} \\ \frac{1}{\sin Q} & =\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sin Q} & =\frac{1}{\frac{1}{2}} \\ \sin Q & =\frac{1}{2} \\ \angle Q & =30^{\circ} \end{aligned} \]

Jawaban: A

[collapse]

Soal Nomor 5

Sebuah segitiga \(ABC\) diketahui sisi \(a=3 \mathrm{~cm}, b=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}\) dan \(\angle A=30^{\circ}\), maka panjang sisi \(c=\cdots \mathrm{cm}\)

(A) \(4 \sqrt{3}\)
(B) \(6\)
(C) \(3 \sqrt{2}\)
(D) \(5\)
(E) \(4\)

Pembahasan

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini: Dari segitiga \(ABC\) di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh: \[ \begin{aligned} \frac{a}{\sin A} & =\frac{b}{\sin B} \\ \frac{3}{\sin 30^\circ} & =\frac{3\sqrt{3}}{\sin B} \\ \frac{1}{\frac{1}{2}} & =\frac{\sqrt{3}}{\sin B} \\ \sin B & =\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \angle B & =60^\circ \longrightarrow \angle C=90^\circ \end{aligned} \] Dengan \(\angle C=90^\circ\), sehingga segitiga \(ABC\) adalah segitiga siku-siku di \(C\), maka untuk menghitung \(c\) dapat kita gunakan teorema Pythagoras atau aturan sinus. Dengan menggunakan aturan sinus: \[ \begin{aligned} \frac{a}{\sin A} & =\frac{c}{\sin C} \\ \frac{3}{\sin 30^\circ} & =\frac{c}{\sin 90^\circ} \\ \frac{3}{\frac{1}{2}} & =\frac{c}{1} \\ 6 & =c \end{aligned} \] Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita peroleh: \[ \begin{aligned} & c^2=a^2+b^2 \\ & c^2=3^2+(3\sqrt{3})^2 \\ & c^2=9+27 \\ & c^2=36 \longrightarrow c=6 \end{aligned} \]

Jawaban: B

[collapse]

Soal Nomor 6

Dari segitiga \(ABC\) diketahui sisi \(AB=6 \, \mathrm{cm}\), \(AC=4 \, \mathrm{cm}\), dan \(\angle A=60^{\circ}\), maka panjang sisi \(BC=\cdots \, \mathrm{cm}\)

(A) \(2\sqrt{7}\)
(B) \(4\sqrt{3}\)
(C) \(4\sqrt{2}\)
(D) \(5\)
(E) \(4\)

Pembahasan

Dari segitiga di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh: \begin{aligned} a^2 & =b^2+c^2-2bc \cdot \cos A \\ a^2 & =(4)^2+(6)^2-2(4)(6) \cdot \cos 60^\circ \\ a^2 & =16+36-48 \cdot \frac{1}{2} \\ a^2 & =52-24=28 \\ a & =\sqrt{28}=2\sqrt{7} \end{aligned}

Jawaban: A

[collapse]

Soal Nomor 7

Suatu segitiga \(PQR\) diketahui sisi \(PQ=4\,\mathrm{cm}\) dan \(QR=2\sqrt{3}\,\mathrm{cm}\) serta \(PR=2\,\mathrm{cm}\). Maka besar \(\angle Q=\cdots\)

(A) \(30^{\circ}\)
(B) \(60^{\circ}\)
(C) \(90^{\circ}\)
(D) \(120^{\circ}\)
(E) \(330^{\circ}\)

Pembahasan

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini: Dari segitiga \(PQR\) di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh: \[ \begin{aligned} q^2 & =p^2+r^2-2pr \cdot \cos Q \\ (2)^2 & =(2\sqrt{3})^2+(4)^2-2(2\sqrt{3})(4) \cdot \cos Q \\ 4 & =12+16-16\sqrt{3} \cdot \cos Q \\ -24 & =-16\sqrt{3} \cdot \cos Q \\ \cos Q & =\frac{-24}{-16\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ Q & =30^\circ \end{aligned} \]

Jawaban: A

[collapse]

Soal Nomor 8

Pada segitiga \(PQR\) diketahui panjang sisi \(QR=8 \, \mathrm{cm}\), \(PQ=5 \, \mathrm{cm}\), dan besar sudut \(Q=60^\circ\). Panjang \(PR=\cdots \, \mathrm{cm}\)

(A) \(6\sqrt{3}\)
(B) \(6\)
(C) \(7\)
(D) \(8\)
(E) \(8\sqrt{2}\)

Pembahasan

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini: Dari segitiga \(PQR\) di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh: \[ \begin{aligned} q^2 & =p^2+r^2-2pr \cdot \cos Q \\ PR^2 & =(8)^2+(5)^2-2(8)(5) \cdot \cos 60^{\circ} \\ PR^2 & =64+25-80 \cdot \frac{1}{2} \\ PR^2 & =89-40 \\ PR^2 & =49 \longrightarrow PR=7 \end{aligned} \]

Jawaban: C

[collapse]

Soal Nomor 9

Suatu segitiga \(ABC\) diketahui sisi \(BC=6 \, \mathrm{cm}\) dan \(AC=3\sqrt{3} \, \mathrm{cm}\) serta \(\angle B=60^{\circ}\). Maka panjang sisi \(AB=\cdots \, \mathrm{cm}\)

(A) \(2\sqrt{3}\)
(B) \(4\)
(C) \(4\sqrt{2}\)
(D) \(3\sqrt{2}\)
(E) \(3\)

Pembahasan

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini: Dari segitiga \(ABC\) di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh: \[ \begin{aligned} \frac{a}{\sin A} & =\frac{b}{\sin B} \\ \frac{6}{\sin A} & =\frac{3 \sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} \\ \frac{2}{\sin A} & =\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} \\ \frac{2}{\sin A} & =\frac{1}{\frac{1}{2}} \\ \sin A & =1 \longrightarrow \angle A=90^{\circ} \\ \frac{c}{\sin C} & =\frac{b}{\sin B} \\ \frac{AB}{\sin 30^{\circ}} & =\frac{3 \sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} \\ \frac{AB}{\frac{1}{2}} & =\frac{3 \sqrt{3}}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} \\ AB & =3 \end{aligned} \]

Jawaban: E

[collapse]

Soal Nomor 10

Sebuah kapal berlayar dengan arah \(240^{\circ}\) dari suatu pelabuhan dengan kecepatan \(5 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{jam}}\). Dua jam kemudian terdapat kapal lain yang berlayar dengan arah \(180^{\circ}\) dari pelabuhan yang sama dengan kecepatan \(15 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{jam}}\). Berapa jarak kedua kapal tersebut setelah kapal pertama berlayar selama \(4 \mathrm{jam}\)?

(A) \(8 \sqrt{6} \mathrm{~km}\)
(B) \(10 \sqrt{7} \mathrm{~km}\)
(C) \(8 \sqrt{7} \mathrm{~km}\)
(D) \(9 \sqrt{6} \mathrm{~km}\)
(E) \(8 \mathrm{~km}\)

Pembahasan

Pada jurusan tiga angka, arah kapal berlayar diukur searah dengan jarum jam dan patokan adalah arah mata angin Utara. Jika kapal berlayar dengan arah \(240^{\circ}\) dari pelabuhan A dan dua jam kemudian kapal berlayar dengan arah \(180^{\circ}\) dari pelabuhan yang sama dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Dari gambar di atas \(\angle BAC=240^\circ-180^\circ=60^\circ\), sehingga jarak kedua kapal yang kita misalkan dengan \(BC\) pada gambar adalah: \[ \begin{aligned} a^2 & =b^2+c^2-2bc\cdot\cos BAC \\ BC^2 & =30^2+20^2-2(30)(20)\cdot\cos 60^\circ \\ BC^2 & =900+400-1200\cdot\frac{1}{2} \\ BC^2 & =1300-600 \\ BC & =\sqrt{700}=10\sqrt{7} \end{aligned} \]

Jawaban: B

[collapse]

Leave a Comment