Soal dan Pembahasan Latihan Soal Matematika SIMAK UI 2024

Soal dan Pembahasan Latihan Soal Matematika SIMAK UI 2024

Dalam menghadapi ujian masuk perguruan tinggi, seperti SIMAK UI 2024, persiapan yang matang sangatlah penting, terutama dalam menguasai materi matematika yang menjadi salah satu komponen tes.

Melalui latihan soal dan pembahasannya, calon peserta ujian dapat meningkatkan pemahaman mereka terhadap konsep-konsep matematika yang akan diujikan.

Oleh karena itu, dalam paragraf pembuka ini, kami akan membahas mengenai pentingnya latihan soal dan pembahasannya sebagai bagian dari persiapan yang efektif untuk menghadapi ujian SIMAK UI 2024.

Dengan memahami dan melatih berbagai jenis soal serta memahami langkah-langkah penyelesaiannya, diharapkan para calon peserta dapat meningkatkan kemampuan mereka dalam menghadapi ujian tersebut.

Soal dan Pembahasan Latihan Soal Matematika SIMAK UI 2024

Soal Nomor 1

Diketahui \(f(x)=\sin \left(\sin ^3(\cos (x))\right)\). Jika \(\frac{f^{\prime \prime}(0)}{\sin (2)}=A\) \(\cos \left(\sin ^3(1) \sin (1)\right)\), maka \(A=\ldots\)

(A) \(\frac{3}{2}\)
(D) \(-\frac{1}{2}\)
(B) \(\frac{1}{2}\)
(E) \(-\frac{3}{2}\)
(C)\( 0\)

Pembahasan

\begin{aligned} & \cos 0=1 \\ & \frac{f^{\prime \prime}(0)}{\sin (2)}=\frac{-\cos \left(\sin ^3(1)\right) \sin ^2(1) \cos (7)}{2 \sin (7) \cos (1)} \\ &=-\frac{3}{2} \cos \left(\sin ^3(1)\right) \sin (1) \\ & \text { A }=-\frac{3}{2} \end{aligned}

Jawaban: E

[collapse]

Soal Nomor 2

Banyaknya \(\theta\) dengan \(0^\circ \leq \theta \leq 360^\circ\) yang memenuhi \({ }^2 \log (3 \sin \theta)=2^2 \log (-3 \cos \theta)+1\) adalah …

A. \(4\)
D. \(1\)
B. \(3\)
E. \(0\)
C. \(2\)

Pembahasan

\({ }^2 \log (3 \sin \theta)=2^2 \log (-3 \cos \theta)+1\)

Pertama kita akan menyamakan semua ruasnya dengan \((^2 \log…)\)

\begin{aligned} & { }^2 \log (3 \sin \theta)={ }^2 \log (-3 \cos \theta)^2+{ }^2 \log 2 \\ & 3 \sin \theta=2 \cdot 9^3 \cos ^2 \theta \\ & \sin \theta=6\left(1-\sin ^2 \theta\right) \\ & 6 \sin ^2 \theta+\sin \theta-6=0 \\ & \sin \theta=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ & \quad=\frac{-1 \pm \sqrt{145}}{12} \\ Karena  \sin \theta>0 \\&  Maka yang memenuhi: \frac{-1 \pm \sqrt{145}}{12} \text { ada } 1 . \end{aligned} .

Karena \(\sin \theta > 0\), kita hanya mempertimbangkan solusi positif, yaitu \(\sin \theta = 1\). Dalam interval \((0, \pi)\), \(\sin \theta = 1\) saat \(\theta = \frac{\pi}{2}\).

Jawaban: D

[collapse]

Soal Nomor 3

Jika bilangan \(\log \left(a^3 b^7\right), \log \left(a^3 b^{12}\right)\), dan \(\log \left(a^8 b^{15}\right)\) merupakan tiga suku pertama dari barisan aritmetika, dan suku ke-12 nya adalah \(\log \left(\mathrm{b}^n\right)\) maka nilai \(\mathrm{n}\) adalah …
A. \(82\)
B. \(108\)
C. \(112\)
D. \(146\)
E. \(152\)

Pembahasan

Barisan Aritmetika berlaku \[ \begin{aligned} & 2 \log \left(a^5 b^{12}\right)=\log \left(a^3 b^7\right)+\log \left(a^8 b^{15}\right) \\ & \log \left(a^5 b^{12}\right)^2=\log a^3 b^7 a^8 b^{15} \\ & a^{10} b^{24}=a^{11} b^{22} \quad \text { beda }=a \\ & \log b^9 \\ & b^2=a \\ & U_1=\log b^{13} \\ & U_{12}=U_1+11 b \\ & =13 \log b+11 \cdot 9 \log b \\ & =112 \log b \\ & =\log b^{112} \\ & n=112 \\ \end{aligned} \]

Jawaban: C

[collapse]

Soal Nomor 4

Jika \(k\) adalah bilangan asli terkecil sedemikian sehingga dua fungsi kuadrat \(f(x)=(k-1)x^2+kx-1\) dan \(g(x)=(k-2)x^2+x+2k\) berpotongan di dua titik yang berbeda \((x_1, y_1)\) dan \((x_2, y_2)\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(x_1+x_2\) dan \(y_1+y_2\) adalah …

A. \(x^2-1=0\)
B. \(x^2-4x-5=0\)
C. \(x^2-10x=0\)
D. \(x^2-6x-7=0\)
E. \(x^2-26x-56=0\)

Pembahasan

karena bilangan asli terkecil, maka uji nilai \(k\). Anggap \(k=3\), untuk membuat kurva \[ \begin{aligned} & f(x)=2x^2+3x-1 \\ & g(x)=x^2+x+6 \end{aligned} \] apakah berpotongan di dua titik? Uji persamaan \[ \begin{aligned} & f(x)=g(x) \\ & 2x^2+3x-1=x^2+x+6 \\ & 2x^2-x^2+3x-x-1-6=0 \\ & x^2+2x-7=0 \end{aligned} \] Sedemikian hingga didapatkan akar-akarnya, \[ \begin{aligned} & x_1=-1+2\sqrt{2} \\ & x_2=-1-2\sqrt{2} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & g(x)=x^2+x+6 \\ & g(x_1)=(-1+2\sqrt{2})^2+(-1+2\sqrt{2})+6 \\ & =(1-4\sqrt{2}+8)-1+2\sqrt{2}+6 \\ & =-2\sqrt{2}+14 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & g(x_2)=(-1-2\sqrt{2})^2+(-1-2\sqrt{2})+6 \\ & =(1+4\sqrt{2}+8)+(-1-2\sqrt{2})+6 \\ & =2\sqrt{2}+14 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & x_1+x_2=-1+2\sqrt{2}+(-1-2\cdot\sqrt{2}) \\ & =-2 \\ & y_1+y_2=(-2\sqrt{2}+14)+(2\cdot\sqrt{2}+14) \\ & =28 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & (x+2)(x-28)=0 \\ & x^2-28x+2x-56=0 \\ & x^2-26x-56=0 \\ \end{aligned} \]

Jawaban: E

[collapse]

Soal Nomor 5

Diberikan kubus \(ABCD.EFGH\) dengan panjang rusuk \(a\). Koordinat titik \(A\) adalah \((0,0,0)\) dan vektor \(\overrightarrow{c}=(-3, \sin \theta,-9)\).
Jika \(\operatorname{proj}_{\overline{DE}}\left(\operatorname{proj}_{\overline{BC}}\left(\operatorname{proj}_{\overline{AB}} \vec{c}\right)=\left(x_1, x_2, x_3\right)\right.\), maka nilai \(-x_1+2 x_2+x_3^2=\ldots\)
A. \(-2\) 
D. \(1\) 
B. \(-1\) 
E. \(2\) 
C. \(0\) 

Pembahasan

Proyeksi \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) terhadap \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) adalah \(k \overrightarrow{\mathrm{AB}}\) dengan \(k \in \mathbb{R}\). Proyeksi \(k \overrightarrow{\mathrm{AB}}\) terhadap \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) adalah \(\overrightarrow{\mathrm{O}}\), karena \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) tegak lurus dengan \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\). Proyeksi \(\vec{O}\) terhadap \(\overrightarrow{DE}\) adalah \(\vec{O}=(0,0,0)\) \(=\left(x_1, x_2, x_3\right)\) sehingga \(-x_1+2 x_2+x_3^2=0\).

Jawaban: C

[collapse]

Soal Nomor 6

Dikerikan kubus \(ABCD.EFGH\). Titik \(P\) terletak di rusuk \(CG\) sedemikian sehingga \(PG = 2CP\). Titik \(Q\) dan \(R\) berturut-turut berada di tengah rusuk \(AB\) dan \(AD\). Bidang \(\Omega\) adalah bidang yang melalui titik \(P\), \(Q\), dan \(R\). Jika \(a\) adalah sudut terbesar yang terbentuk antara bidang \(\Omega\) dan bidang \(ABCD\), maka nilai \(\tan a = \ldots\)

A. \(\frac{2 \sqrt{2}}{9}\) 
D. \(\frac{\sqrt{2}}{9}\) 
B. \(-\frac{\sqrt{2}}{9}\) 
E. \(-\frac{2 \sqrt{2}}{9}\) 
C. \(-1\) 

Pembahasan

\begin{aligned} & \text{Misal rusuk} = 12 \\ & \mathrm{AC} = 12 \sqrt{2} \\ & \mathrm{OC} = 9 \sqrt{2} \\ & \tan \angle \mathrm{POC} = \frac{4}{9 \sqrt{2}} \\ & = \frac{4}{9 \cdot 2} \sqrt{2} \\ & = \frac{2 \sqrt{2}}{9} \end{aligned}

Jawaban: A

[collapse]

Soal Nomor 7

Diberikan sistem persamaan:

\(x+y^2 = y^3\)
\(y+x^2 = x^3\)

Banyaknya pasangan bilangan real \((x, y)\) yang memenuhi sistem di atas adalah … .
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(3\)
E. tak hingga

Pembahasan

Persamaan \(x+y^2=y^3\) merupakan persamaan \(y+x^2=x^3\) yang dicerminkan terhadap garis \(y=x\), sehingga pasangan bilangan real yang memenuhi terletak pada garis \(y=x\). Akibatnya diperoleh: \[ \begin{aligned} & x+x^2=x^3 \Rightarrow x+x^2-x^3=0 \\ & \Rightarrow x(1+x-x^2)=0 \end{aligned} \] Diperoleh \(x=0\) merupakan salah satu solusi, dan karena \(1+x-x^2\) mempunyai determinan 5 maka \(1+x+x^2\) mempunyai 2 solusi berlainan. Jadi totalnya ada 3 buah solusi, sehingga ada 3 pasangan bilangan real yang memenuhi sistem persamaan yang dimaksud.

Jawaban: D

[collapse]

Soal Nomor 8

Untuk \(a>0\), luas daerah yang dibatasi oleh kurva \(y=-(x-a)^2+2\), garis \(y=x-a\), dan garis \(x=a+2\) adalah \(\ldots\)

A.\(\int_{a-2}^{a+2}\left(-(x-a)^2-(x-a)+2\right) dx\)
B. \(\int_{a+1}^{a+2}\left(-(x-a)^2-(x-a)+2\right) dx\)
C. \(\int_{a-2}^{a+1}\left(-(x-a)^2-(x-a)+2\right) dx\)
D. \(\int_{a-2}^{a+1}\left(-(x-a)^2-(x-a)-2\right) dx\)
E. \(\int_{a+1}^{a+2}\left(-(x-a)^2+(x-a)-2\right) dx\)

Pembahasan

Misal \(y_1=x-a\) dan \(y_2=-(x-a)^2+2\). \(y_2\) merupakan grafik \(f(x)=-x^2\) yang digeser ke kanan \(a\) satuan, dan ke atas 2 satuan. \(y_1\) merupakan garis \(y=x\) yang digeser ke kanan \(a\) satuan. Ilustrasi daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut.

Tampak pada gambar, luas daerah dibatasi oleh absis titik potong \(y_1\) dan \(y_2\) dan \(x=a+2\). \( y_1=y_2 \Rightarrow (x-a)^2+(x-a)-2=0 \)

\( \Rightarrow (x-a+2)(x-a-1)=0 \\\) \( \Rightarrow x=a-2 \vee x=a+1 \)

Sehingga luas arsiran adalah: \(L=\int_{a+1}^{a+2}(y_1-y_2) \, dx \\\) \(L=\int_{a+1}^{a+2} ((x-a)^2+(x-a)-2) \, dx\)

Jawaban: E

[collapse]

Soal Nomor 9

Jika \(f(x)=\sin 2x\), maka \(\lim_{x \to \infty} \frac{f\left(x+\frac{h}{2}\right)-2f(x)+f\left(x-\frac{h}{2}\right)}{h^2}\) adalah…

(A) \(2 \sin 2x\)
(B) \(\sin 2x\)
(C) \( 0 \)
(D) \(-\sin 2x\)
(E) \(-2 \sin 2x\)

Pembahasan

\begin{aligned} & \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} f^{\prime}\left(x+\frac{h}{2}\right)-0-\frac{1}{2} f^{\prime}\left(x-\frac{h}{2}\right)}{2 h} \\ & =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{4} f^{\prime \prime}\left(x+\frac{h}{2}\right)-\frac{1}{4} f^{\prime \prime}\left(x-\frac{h}{2}\right)}{2} \\ & =\frac{\frac{1}{4} f^{\prime \prime}(x)-\frac{1}{4} f^{\prime \prime}(x)}{2} \\ & =\frac{1}{4} f^{\prime \prime}(x) \\ & =\frac{1}{4}(-4 \sin 2 x) \\ & =-\sin 2 x \end{aligned}

Jawaban: E

[collapse]

Soal Nomor 10

10. Jika sisa pembagian \(f(x)\) oleh \((x^2-1)\) adalah \(-x+3\) dan sisa pembagian \(f(x)\) oleh \((x^2-4)\) adalah \(x+1\), maka …

1) sisa pembagian \((x-2)f(x)\) oleh \((x^2-x-2)\) adalah \(4x-7\)

2) sisa pembagian \(x^2f(x)\) oleh \((x^2+x-2)\) adalah \(-2x\)

3) sisa pembagian \(f(-x)^2\) oleh \((x^2-3x+2)\) adalah \(-5x+9\)

4) sisa pembagian \(-f(x)\) oleh \((x^2+3x+2)\) adalah \(-5x-9\)

Pembahasan

\[ \begin{aligned} & f(x):\left(x^2-1\right) \text { sisa }-x+3 \\ & f(x):\left(x^2-4\right) \text { sisa } x+1 \end{aligned} \] 4) \[ \begin{array}{lcl} -f(x): & (x+2)(x+1) \text { sisa }-5 x-9 \\ x & f(x) & -f(x) \\ \hline -2 & -1 & 1 \\ -1 & 4 & -4 \end{array} \] \[ \begin{aligned} \text { Sisa } & =a x+b \\ 1 & =-2 a+b \\ -4 & =-a+b \\ 5 & =-a \\ \hline a & =-5 \\ b & =-9 \\ \text { sisa }: & -5 x-9 \end{aligned} \] Jawaban yang benar adalah (D).

Jawaban: D

[collapse]

Soal Nomor 11

11. Jika \(\sin x – \cos x = a\), dengan \(\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}\), maka …

1) \(\sin^2 x – \cos^2 x = -\frac{1}{2} \left(\sqrt{3 + 2a^2 – a^4}\right)\)

2) \(\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{8} \left(-3a^4 + 6a^2 + 5\right)\)

3) \(\sin 2x = \frac{1 – a^2}{2}\)

4) \(\tan^2 x + \cot^2 x = \frac{-3a^4 – 2a^2 + 8a + 13}{2(a^4 + 2a^2 + 1)}\)

Pembahasan

1). \( (\sin x – \cos x)^2 = a^2\) \( 1 – \sin 2x = a^2 \) \( \sin 2x = 1 – a^2 \) \( \cos 2x = \sqrt{2a^2 – a^4} \) \( \sin^2 x – \cos^2 x = -\sqrt{2a^2 – a^4} \quad (\text{salah}) \) 2). \( (\sin^2 x – \cos^2 x)^2 = 2a^2 – a^4 \)  \( \sin^4 x + \cos^4 x – 2 \sin^2 x \cos^2 x = 2a^2 – a^4 \)  \( \sin^4 x + \cos^4 x – \frac{1}{2} \sin^2 2x = 2a^2 – a^4 \)  \( \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2} (1 – a^2)^2 + 2a^2 – a^4 \)  \(= \frac{1}{2} (-a^4 + a^2 + 1) \quad (\text{salah}) \) 3). \(\sin 2x = 1 – a^2 (salah)\) 4). \(\tan^2 x + \cot^2 x = \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} \) \( = \frac{\frac{1}{2} (-a^4 + a^2 + 1)}{\frac{1}{4} (1 – a^2)^2} \) \( = \frac{2 (-a^4 + a^2 + 1)}{(1 – a^2)^2} \quad (\text{salah}) \)

Jawaban: –

[collapse]

Soal Nomor 12

12. Pernyataan yang benar mengenai pertidaksamaan \(|x-4|+|x-5|>8\) adalah …

1) Banyaknya bilangan bulat yang tidak memenuhi pertidaksamaan ada 8
2) Ada sejumlah hingga bilangan bulat negatif yang memenuhi pertidaksamaan
3) \(\left\{x \in \mathbb{R} \,|\, x > \frac{17}{2}\right\}\) adalah himpunan bagian dari himpunan penyelesian pertidaksamaan
4) Jumlah semua bilangan bulat yang memenuhi adalah 35

Pembahasan

a) Untuk \(x>4\) dan \(x>5\) diperoleh \[ \begin{aligned} & x-4+x-5>8 \Rightarrow 2x>17 \\ & \Rightarrow x>\frac{17}{2} \end{aligned} \] b) Untuk \(x<4\) dan \(x>5\) tidak ada solusi. c) Untuk \(4<x<5\) tidak ada solusi. d) Untuk \(x<4\) dan \(x<5\) diperoleh \[ \begin{aligned} 4-x+5-x>8 & \Rightarrow -2x>-2 \\ & \Rightarrow x<\frac{1}{2} \end{aligned} \] Jadi \(HP=\left\{x\, \middle|\, x<\frac{1}{2}\right.\text{ atau }\left.x>\frac{17}{2}\right\}\), sehingga diperoleh pernyataan (1) Benar (2) Salah (3) Benar (4) Salah

Jawaban: B

[collapse]

Penting untuk diingat bahwa kesuksesan dalam ujian tidak hanya bergantung pada pemahaman materi, tetapi juga pada kemampuan untuk mengaplikasikan pengetahuan tersebut dengan baik.

Melalui latihan yang tekun dan pemahaman yang mendalam, diharapkan para calon peserta dapat meraih hasil yang optimal dalam ujian tersebut.

Tetaplah konsisten dalam belajar dan percayalah pada kemampuan diri sendiri. Semoga usaha keras yang telah dilakukan dapat membuahkan hasil yang memuaskan. Teruslah berlatih, teruslah berkembang, dan semoga sukses selalu mengiringi langkah-langkah kita ke depan.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *