Soal dan Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2023

Latihan Soal dan Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2023

Artikel ini mengulas sejumlah 12 contoh soal dan pembahasan untuk ujian Matematika IPA pada Seleksi Masuk Universitas Indonesia (SIMAK UI) tahun 2023, yang ditujukan bagi siswa dengan kemampuan dalam bidang Ilmu Pengetahuan Alam (IPA). Materi tersebut merupakan bagian dari ujian SIMAK UI khusus untuk jalur mandiri.

Melalui pemaparan contoh soal dan pembahasannya ini, diharapkan pembaca dapat memperoleh pemahaman yang lebih mendalam terhadap struktur ujian serta meningkatkan kesiapan dalam menghadapinya.

Selain itu, artikel ini juga memberikan gambaran tentang apa sebenarnya SIMAK UI, sebuah ujian yang menjadi salah satu syarat masuk ke Universitas Indonesia. Dengan demikian, pembaca akan lebih memahami pentingnya persiapan yang matang untuk mengikuti proses seleksi tersebut.

Soal dan Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2023

Soal Nomor 1

Jika \(m\) dan \(n\) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \(2x^2+x-2=0\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah \(m^3-n^2\) dan \(n^3-m^2\) adalah … .
A. \(32x^2+101x-124=0\)
B. \(32x^2+124x+101=0\)
C. \(-32x^2+101x-124=0\)
D. \(-32x^2-101x-124=0\)
E. \(-32x^2+101x+124=0\)

Pembahasan

\begin{aligned} & 2x^2+x-2=0 \\ & m+n=-\frac{1}{2} \\ & mn=1 \\ & m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n) \\ & =-\frac{1}{8}-\frac{3}{2}=-\frac{13}{8} \\ & m^2+n^2=(m+n)^2-2mn \\ & =\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4} \\ & (m^3+n^3)(m^2+n^2)=m^5+n^3m^2+n^2m^3+n^5 \\ & \left(-\frac{13}{8}\right)\left(\frac{9}{4}\right)=m^5+n^5+n^2m^2(m+n) \\ & m^5+n^5=\frac{1}{2}-\left(-\frac{13}{8}\right)\left(\frac{9}{4}\right) \end{aligned} \begin{aligned} m^5 & +n^5=\frac{16-117}{32}=\frac{-101}{32} \\ – & m^3-n^2+n^3-m^2=m^3+n^2-\left(n^2+m^2\right) \\ & =-\frac{13}{8}-\frac{9}{4}=-\frac{31}{8} \\ – & \left(m^3-n^2\right)\left(n^3-m^2\right)=(mn)-\left(n^5+m^5\right)+(nm)^2 \\ & =-1+\frac{101}{32}+1 \\ & =\frac{101}{32} \end{aligned} Persamaan kuadrat yang baru adalah: \begin{aligned} & x^2-\left(-\frac{13}{8}\right)x+\frac{101}{32}=0 \\ & 32x^2+124x+101=0 \end{aligned}

Jawaban: B

[collapse]

Soal Nomor 2

Diketahui \(p(x)\) dan \(g(x)\) adalah dua suku banyak yang berbeda, dengan \(p(10)=m\) dan \(g(10)=n\). Jika \(p(x)h(x)=\left(\frac{p(x)}{g(x)}-1\right)(p(x)+g(x))\), \(h(10)=-\frac{16}{15}\), maka nilai maksimum dari \(|\mathrm{m}+\mathrm{n}|=\cdots\)

(A) \(8\)
(B) \(6\)
(C) \(4\)
(D)\( 2\)
(E) \(0\)

Pembahasan

\begin{aligned} & p(10)=m ; g(10)=n \\ & p(x) h(x)=\left(\frac{p(x)}{g(x)}-1\right)(p(x)+g(x)) \\ & p(10) h(10)=\left(\frac{p(x)}{g(x)}-1\right)(p(10)+g(10)) \\ & m\left(-\frac{16}{15}\right)=\left(\frac{m}{n}-1\right)(m+n) \\ & -16mn=15(m+n)(m+n) \\ & \frac{-16mn=15(m^2-n^2)}{-16\left(\frac{m}{n}\right)=15\left(\frac{m^2}{n^2}-1\right)}: n^2 \\ & \text {misal }\frac{m}{n}=a \\ & -16a=15(a^2-1) \\ & 15a^2+16a-15=0 \\ & (5a-3)(3a+5)=0 \\ & a=\frac{5}{3} \quad a=-\frac{5}{3} \\ & \frac{m}{n}=\frac{5}{3} \\ & |m+n|=|3+5| \\ & =8 \\ & \end{aligned}

Jawaban: A

[collapse]

Soal Nomor 3

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan \(\log |x+1| \geq \log 3+\log |2x-1|\) adalah \(\ldots\)

A. \(\left\{x \in \mathbb{R} \,\middle|\, \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\right\}\)

B. \(\left\{x \in \mathbb{R} \,\middle|\, \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{4}{5}\right\}\)

C. \(\left\{x \in \mathbb{R} \,\middle|\, \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}\right\}\)

D. \(\left\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq-1 \right. \text{ atau } \left. x \geq \frac{1}{2}\right\}\)

E. \(\left\{x \in \mathbb{R} \,\middle|\, x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\right\}\)

Pembahasan

\begin{aligned} & \log |x+1| \geq \log 3+\log |2x-1| \\ & \log |x+1| \geq \log 3|2x-1| \\ & \text{berlaku} \\ & |x+1| \geq 3|2x-1| \\ & (x+1+6x-3)(x+1-6x+3) \geq 0 \\ & (7x-2)(-5x+4) \geq 0 \\ & x=\frac{2}{7} \quad x=\frac{4}{5} \\ & \mathrm{Hp}=\left\{\frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\right\} \\ & \end{aligned}

Jawaban: A

[collapse]

Soal Nomor 4

Diketahui suatu barisan aritmatika \((a_n)\) memiliki suku awal \(a > 0\) dan \(2a_{10}=5a_{15}\). Nilai \(n\) yang memenuhi agar jumlah \(n\) suku pertama dari barisan tersebut maksimum adalah …
A. \(16\)
D. \(19\)
B. \(17\)
E. \(20\)
C. \(18\)

Pembahasan

\[ \begin{aligned} & 2 a_{10}=5 a_{15} \\ & 2(a+9 b)=5(a+14 b) \\ & a=-\frac{52}{3} b \\ & S_n=n \cdot U_r \\ & =n\left(\frac{a+a_n}{2}\right) \\ & =\frac{1}{2} n\left(\frac{-107}{3} b+b_n\right) \\ & =\frac{1}{6} b\left(3 n^2-107 n\right) \end{aligned} \] Maksimum maka \(S’n=0\) \[ \begin{aligned} 6 n-107 & =0 \\ n & =18 \end{aligned} \]

Jawaban: C

[collapse]

Soal Nomor 5

Misalkan diberikan vektor \(\vec{b}=(y,-2z,3x)\), dan \(\vec{c}=(2z,3x,-y)\). Diketahui vektor \(\vec{a}\) membentuk sudut tumpul dengan sumbu \(y\) dan \(\|\vec{a}\|=2\sqrt{3}\). Jika \(\vec{a}\) membentuk sudut yang sama dengan \(\overrightarrow{\mathrm{b}}\) maupun \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\), dengan tegak lurus dengan \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=(1,-1,2)\), maka \(\vec{a}\)=…

A. \((1,0,-1)\)
B. \((-2,-2,-2)\)
C. \((2,0,-2)\)
D. \((-2,0,2)\)
E. \((2,-2,-2)\)

Pembahasan

\[ \|\vec{a}\|=2 \sqrt{3} \]

SMART SOLUTION

Kemungkinanannya adalah \(B\) atau \(E\) karena,

\(|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) \(\vec{a} \perp \vec{b}\) maka,

\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\) maka \(\vec{a}=(2,-2,-2)\)

Jawaban: E

[collapse]

Soal Nomor 6

Banyaknya nilai \(x\) dengan \(0 \leq x \leq 2.014 \pi\) yang memenuhi \(\cos^3 x+\cos^2 x-4\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=0\) adalah …
A. \(1.006\)
B. \(1.007\)
C. \(1.008\)
D. \(2.012\)
E. \(2.014\)

Pembahasan

\begin{aligned} & \cos 2x = 2\cos^2 x – 1 \\ & \cos^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x \\ & 4\cos^2 \frac{1}{2}x = 2 = 2\cos x \\ & \cos^3 x + \cos^2 x – 4\cos^2 \frac{x}{2} = 0 \\ & \cos^3 x + \cos^2 x – 2 – 2\cos^2 \frac{x}{2} = 0 \\ & (\cos^2 – 2) + \cos x(\cos^2 x – 2) = 0 \\ & (\cos^2 – 2)(\cos x + 1) = 0 \\ & \cos x = \pm \sqrt{2} \text{ (tidak memenuhi) } \\ & \cos x = -1 \text{ interval } 0 \leq x \leq 2\pi \\ & x = \pi \end{aligned} maka dalam interval \(0 \leq x \leq 2014\pi\)

\( 0 \leq x \leq 2\pi(1007) \)

terdapat 1007 nilai \(x\)

Jawaban: B

[collapse]

Soal Nomor 7

Semua nilai \(x\) yang memenuhi \(^{\sin x} \log \left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)=2\) adalah … .
A. \(x=\frac{\pi}{4}+2 k \pi\), \(k\) bilangan bulat
B. \(x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi\), \(k\) bilangan bulat
C. \(x=\frac{\pi}{4}+k \pi\), \(k\) bilangan bulat
D. \(x=\frac{\pi}{3}+2 k \pi\), \(k\) bilangan bulat
E. \(x=\frac{\pi}{3}+k \pi\), \(k\) bilangan bulat

Pembahasan

\[ \sin x \log \left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)=2 \] Syarat \(\sin x>0\) \[ \begin{aligned} & \sin x \neq 1 \\ & \sin ^2 x=\frac{1}{2} \sin 2 x \\ & 2 \sin ^2 x-2 \sin x \cos x=0 \\ & 2 \sin x(\sin x-\cos x)=0 \\ & \sin x=0 \text { (tidak terpenuhi) } \\ & \sin x=\cos x \\ & \tan x=1 \\ & x=\frac{\pi}{4}+k \pi \end{aligned} \] Karena \(\sin x=\cos x\) periode \(2k\pi\) \[ x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \]

Jawaban: A

[collapse]

Soal Nomor 8

Jika \(\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\frac{1}{3} A x^3+\frac{1}{2} B x^2-3 x}{x^3-2 x^2-8 x+16}=-\frac{3}{10}\), maka nilai \(20A+15B=\ldots\)

(A) \(99\)
(B) \(72\)
(C) \(45\)
(D) \(32\)
(E) \(16\)

Pembahasan

Limit syarat \(\frac{0}{0}\)

SMART SOLUTION

Maka substitusi \(x=2\) \[ \begin{aligned} & \frac{8}{3} A+2 B-6=0 \\ & \frac{4A+3B=9}{20A+15A=45} \times 5 \end{aligned} \]

Jawaban: C

[collapse]

Soal Nomor 9

Misalkan \(f(1)=2, f^{\prime}(1)=-1, g(1)=0\) dan \(g^{\prime}(1)=1\). Jika \(F(x)=f(x) \cos (g(x))\), maka \(F^{\prime}(1)=\ldots\)

A. \(2\)
B. \(1\)
C. \(0\)
D. \(-1\)
E. \(-2\)

Pembahasan

\begin{aligned} & F(x)=f(x) \cos (g(x)) \\ & F^{\prime}(1)=\ldots \\ & F^{\prime}(1)=f^{\prime}(1) \cos \left(g(1)-\sin (g(1)) \cdot g^{\prime}(1) \cdot f(1)\right) \\ & =(-1)(1)-0(1)(2)=-1 \end{aligned}

Jawaban: D

[collapse]

Soal Nomor 10

Diberikan fungsi \(f\) dan \(g\) yang memenuhi sistem \(\left\{\begin{array}{l}\int_0^1 f(x) dx+\left(\int_0^2 g(x) dx\right)^2=3, \\ f(x)=3x^2+4x+\int_0^2 g(x) dx\end{array}\right.\) Dengan \(\int_0^2 g(x) dx \neq 0\). Nilai \(f(1)=\ldots\)

A. \(-6\)
B. \(-3\)
C. \(0\)
D. \(3\)
E. \(6\)

Pembahasan

\[ \begin{aligned} & \text { Misalkan } \int_0^2 g(x) d x=p \\ & f(x)=3 x^2+4 x+p \\ & \int_0^1 f(x) d x+\left[\int_0^2 g(x) d x\right]^2=3 \\ & \int_0^1\left(3 x^2+4+p+p^2\right) d x=3 \\ & \left.x^3+2 x^2+\left(p^2+p\right) x\right]_0^1=3 \\ & \begin{aligned} & 1+2+p^2+p=-3 \\ & p(p+1)=0 \\ & p=0, p=-1 \end{aligned} \\ & \begin{aligned} & f(x)=3 x^2+4 x-1 \\ & f(1)=3+4-1 \\ &=6 \end{aligned} \end{aligned} \]

Jawaban: E

[collapse]

Soal Nomor 11

Diberikan kubus ABCD.EFGH. Titik \(R\) terletak pada rusuk \(\mathrm{EH}\) sedemikian sehingga \(\mathrm{ER}=3\mathrm{RH}\) dan titik \(S\) berada di tengah rusuk FG. Bidang \(\Omega\) melalui titik \(R\), \(S\), dan \(A\). Jika \(U\) adalah titik potong antara bidang \(\Omega\) dan rusuk BF, dan \(\alpha\) adalah sudut yang terbentuk antara garis \(RS\) dan \(\mathrm{AU}\), maka \(\tan \alpha=\ldots\)

A. \(\frac{\sqrt{18}}{12}\)
B. \(\frac{\sqrt{21}}{12}\)
C. \(\frac{\sqrt{24}}{12}\)
D. \(\frac{5}{12}\)
E. \(\frac{\sqrt{26}}{12}\)

Pembahasan

Misal rusuk = \(4\)

\begin{array}{rlrl} \frac{\mathrm{RH}}{\mathrm{SG}} & =\frac{\mathrm{VH}}{\mathrm{VG}} \quad \frac{\mathrm{ER}}{\mathrm{FS}}=\frac{\mathrm{RT}}{\mathrm{ST}} & & \\ \frac{1}{2} & =\frac{\mathrm{VH}}{\mathrm{VH}+4} & \frac{3}{2}=\frac{\mathrm{ST}+\sqrt{17}}{\mathrm{ST}} \\ \mathrm{VH} & =4 & \mathrm{ST}=2 \sqrt{17} \\ \mathrm{VR} & =\sqrt{17} & \mathrm{TR} & =3 \sqrt{17} \\ V S & =\sqrt{17} & & \end{array} \begin{aligned} \cos \alpha & =\frac{160-153-25}{2 \cdot 3 \sqrt{17} \cdot 4 \sqrt{10}} \\ & =\frac{2}{\sqrt{170}} \\ \tan \alpha & =\frac{\sqrt{26}}{12} \end{aligned}

Jawaban: E

[collapse]
 

Soal Nomor 12

Misalkan \(x, y\), dan \(z\) memenuhi sistem persamaan:
\begin{cases}(-x-2y-z)(x-y+z)+2xz=-5 \\2x^2-z^2=4\end{cases}

Jika \(x, y, z\) adalah suku-suku berurutan pada suatu deret aritmetika, maka nilai \(y\) adalah…
1) \(\frac{\sqrt{12}+\sqrt{8}}{4}\)
2) \(\frac{\sqrt{12}+\sqrt{6}}{4}\)
3) \(\frac{-\sqrt{12}-\sqrt{8}}{4}\)
4) \(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}\)

Pembahasan

\(x, y, z\) suku deret aritmatika, maka: \[ \begin{aligned} & 2 y=x+z \\ & 4 y^2=x^2+z^2+2 x y \\ & (-x-2 y-z)(x-y+z)+2 x z=-5 \\ & (-4 y)(y)+2 x z=-5 \\ & -4 y^2+2 x z=-5 \end{aligned} \] Substitusi didapat: \[ \begin{aligned} & x^2+z^2=5 \\ & \underline{2 x^2-z^2}=4 \\ & 3 x^2=9 \\ & x^2=3 \rightarrow x= \pm \sqrt{3} \\ & z= \pm \sqrt{2} \\ & 2 y=x+z \\ & y=\frac{x+z}{2} \\ & = \pm\left(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}\right) \\ & = \pm \frac{1}{4}(2 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}) \end{aligned} \]

Nomor (1) dan (3) benar.

Jawaban: B

[collapse]

Melalui pemahaman dan persiapan yang matang terhadap contoh soal serta pembahasannya ini, diharapkan para calon mahasiswa mampu menghadapi ujian SIMAK UI dengan lebih percaya diri dan meraih kesuksesan dalam perjalanan pendidikan mereka di Universitas Indonesia.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *